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Fractal de mandelbrot (600 palabras

El 14 del pasado mes de octubre se cumplió un año del fallecimiento de Benoit Mandelbrot, uno de los precursores de la Geometría Fractal. En Gaussianos nos hicimos eco de esta triste noticia y le dedicamos un post unos días después, en el que, por cierto, comentábamos algo del famoso conjunto de Mandelbrot, también conocido como conjunto M. También se habló algo sobre este conjunto M en el post Pi y el conjunto de Mandelbrot, pero en realidad no hemos comentado con detenimiento su historia y su construcción. Eso mismo es lo que vamos a hacer hoy.

Gaston Julia y sus conjuntos

No podemos decir que la suerte sea una característica presente en la vida de Gaston Julia (matemático francés nacido en Argelia), más bien todo lo contrario.

Tuvo que interrumpir sus estudios cuando contaba con 20 años por la Primera Guerra Mundial, en la que perdió la nariz. A pesar de las operaciones, tuvo que llevar una máscara, como puede verse en la foto de la derecha, hasta el día de su muerte.

Por otra parte, su fama en vida no alcanzó cotas demasiado altas, a pesar de sus interesantes y novedosos estudios. El hecho de no disponer del aparato con el que contaron sus contemporáneos, el ordenador, contribuyó decisivamente a ello.

De todas formas podemos considerar a Julia como uno de los padres de la Geometría Fractal. Él fue el primero en realizar estudios de funciones complejas que generaban conjuntos extraños, que terminaron por denominarse conjuntos de Julia.

El Conjunto de Mandelbrot

 

Vamos a adentrarnos en un nuevo universo de complejidad: el conjunto de Mandelbrot. De nuevo, los procesos iterativos serán las fuentes de este río. El conjunto de Mandelbrot está considerado como el objeto geométrico más complicado creado hasta el momento por el hombre. La frontera que delimita este objeto en el plano complejo es fractal. De hecho, es tan enrevesada que su dimensión fractal D es igual a 2. El conjunto de Mandelbrot, que a partir de ahora indicaremos como M, es el fractal que aparece por defecto al iniciar Fractint y es la figura que hemos empleado de fondo para todas las páginas de nuestro curso. Se trata del ocho rechoncho y recostado lleno de verrugas que puedes observar en la  figura de inferior.  Este es el dibujo original que Mandelbrot descubrió a la comunidad científica a finales de los 70 cuando trabajaba en el centro de investigación Thomas J. Watson. Ahora disponemos de imágenes más detalladas como las representadas en la  tabla de abajo. Si ampliamos las verrugas, nos toparemos con la primera sorpresa: son diminutas copias del conjunto original, mini-mandelbrots. No exactamente idénticas, pero sí semejantes. Y como no, a su vez, estas copias están llenas de verrugas cada una de las cuales vuelve a ser un conjunto de Mandelbrot al ser ampliadas, y así ad nausean...  En la tabla inferior puedes ver un ejemplo de la existencia de pequeñas réplicas similares al propio conjunto inicial en su interior. Hemos utilizado Fractint con mapa de color blues.map para generar las imágenes. Partiendo del conjunto inicial hemos ido haciendo sucesivas ampliaciones de izquierda a derecha en las tres primeras imágenes y de derecha a izquierda en las siguientes.

Mientras que los conjuntos de Julia son estrictamente auto similares, los pequeños conjuntos de Mandelbrot sembrados en sus profundidades son solo cuasi-auto similares. El grado de similar dad depende de la zona y el grado de magnificación al que nos encontremos de forma no trivial.   

Vamos a describir el protocolo para la creación del conjunto. El proceso iterativo queda descrito por el mapa: 

z(n+1) = z(n)² +c, 

   
donde tanto z como c son complejos. Al contrario de las actuaciones previas con los biomorfos o los conjuntos de Julia, el conjunto de Mandelbrot en realidad no es la iteración de una sola función, sino de infinitas funciones. Como hemos visto el factor que determina si un conjunto de Julia es conexo o disconexo es el valor de c.  
   
Para determinar que valores de c producen conjuntos conexos y cuales disconexos parece que no nos quede más remedio que determinar cada conjunto iterando todos los puntos del plano complejo para cada función f_c=z² +c. Afortunadamente se puede demostrar que basta con iterar el (0,0) para cada función f_c y la órbita nos determina la conectividad del conjunto.  

Si la órbita del origen (condición inicial z_0=(0,0)) para la iteración de f_c no escapa al infinito, entonces:  

(1) o bien pertenece al conjunto de Julia de f_c,  
(2) o bien está atrapado.

En el primer caso el conjunto de Julia correspondiente será dendrítico. En el segundo caso el conjunto será equivalente, topológicamente a un círculo y por tanto el conjunto será conexo. El conjunto de todos los valores c tales que sus correspondientes conjuntos de Julia son conexos forman en el plano complejo el famoso conjunto de Mandelbrot.

En la figura superior están representados algunos conjuntos de Julia con valores de c indicados en el plano complejo por las líneas de color azul. Para valores de c dentro del conjunto de Mandelbrot la forma de los conjuntos de Julia es semejante a círculos. Fuera del conjunto tenemos nubes de puntos disconexos. Los conjuntos de Julia más interesantes estéticamente se observan en la frontera. Las formas dendríticas de los conjuntos de Julia corresponden a las fronteras filamentosas del conjunto de Mandelbrot. En la imagen inferior puedes observar un gif animado del efecto de la variación continua del parámetro c en las formas de los conjuntos J a lo largo de una línea que va desde la frontera de M (forma dendrítica) hasta su interior (forma circular). 

Propiedades del Conjunto de los Números Naturales (200 palabras)

Propiedades del Conjunto de los Números Naturales (200 palabras)

Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del primer conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos. Uno (1), dos (2), cinco (5) y nueve (9), por ejemplo, son números naturales.

Existe una controversia respecto a considerar al cero (0) como un número natural. Por lo general, la Teoría de Conjuntos incluye al cero dentro de este grupo, mientras que la Teoría de Números prefiere excluirlo.

Podría decirse que los números naturales tienen dos grandes usos: se utilizan para especificar el tamaño de un conjunto finito y para describir qué posición ocupa un elemento dentro de una secuencia ordenada.

El conjunto de los números naturales es el primer conjunto y surge de manera empírica para satisfacer las necesidades de cuantificar. Este conjunto permite contar y ordenar. Se representa con la letra N y se expresa así:

N= (1, 2, 3, 4, 5…) ó N=(1,2,3,…, n+1, n+2,…)

a) El conjunto de los números naturales es ordenable.

b) El conjunto de los números naturales tiene un primer elemento y no tiene un último elemento, es decir, es un conjunto infinito.

c) Entre dos números naturales consecutivos no existe ningún otro número natural.

d) Todo número natural “n” posee un número anterior, menos el 1. Esto implica que el 1 es el primer número natural:

1+1=2, segundo número natural

2+1= 3, tercer números natural

e) A todo número natural sigue otro número natural. Expresamos el siguiente número natural mediante: n + 1, (para todo n que pertenece al conjunto de los números naturales)

Sistemas de numeración no posicionales

Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos .

Sistemas de numeración semi posicionales
El sistema de los números romanos no es estrictamente posicional. Por esto, es muy complejo diseñar algoritmos de uso general (por ejemplo, para sumar, restar, multiplicar o dividir). Como ejemplo, en el número romano XCIX (99 decimal) los numerales X (10 decimal) del inicio y del fin de la cifra equivalen siempre al mismo valor, sin importar su posición dentro de la cifra.
Sistemas de numeración posicionales
Artículo principal: Sistema de numeración posicional

El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior.

Ejemplo en el sistema de numeración decimal

Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades, hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando.

De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.

El cuentakilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración posicional decimal, nos muestra lo anterior: va sumando 1 a la columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.

Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión.

Tal es la costumbre de calcular en decimal que la mayoría de la población ni siquiera se imagina que puedan existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 sistema binario, de base 8 sistema octal y el de base 16 sistema hexadecimal. También los antiguos mayas tuvieron un sistema de numeración posicional el cual ya no se usa.

1.            ORIGEN DE LOS NÚMEROS

Antes de existir el lenguaje escrito, el hombre primitivo se comunicaba con sus semejantes gesticulando palabras o sonidos, este medio de lenguaje audible se fue perfeccionando al cabo de miles de años de su continuo uso, hasta llegar a la palabra hablada. Cuando éste deseaba recordar un hecho o transmitir un acontecimiento a sus congéneres, les comunicaba sus ideas por medio de la pictografía. Esta consistía en representar por medio de objetos lo que se deseaba expresar ayudado del dibujo o la pintura, de esta manera el hombre inventó su primera forma de comunicación no hablada, la escritura pictográfica, algunos ejemplos se muestran en la Figura No. 1.

1.1.- PRIMEROS INICIOS DE LA ESCRITURA

Hace unos 6000 años a.c. los fenicios, sumerios y babilonios registraban sus hechos y acontecimientos por medio de figuras dibujadas en arcilla húmeda, este tipo de escritura se llamó cuneiforme, o en forma de cuña, porque cada trazo del escrito se hacía oprimiendo sobre tablillas de arcilla que posteriormente secaban al sol o la cocían. El trazo representaba el objeto dibujado, posteriormente lo convirtió en un símbolo relacionado con el mismo objeto, esta etapa de la escritura que el hombre desarrolló, se le llamó ideográfica.

Los egipcios emplearon una escritura ideográfica que se fue perfeccionando con el tiempo y recibió el nombre de jeroglífica, este modo de escritura les servía para realizar sus inscripciones en los templos, tumbas y monumentos.

La escritura ideográfica egipcia tiene dos evoluciones perfectamente definidas, la primera parte de la evolución de la escritura ideográfica es convertirse en jeroglífica para acabar en una escritura cursiva con sus dos variedades, la hierática y demótica. La escritura hierática era una especie de taquigrafía abreviada de los jeroglíficos, muy usada entre los sacerdotes para expresarse rápidamente al no utilizarse el dibujo, cada jeroglífico tenía su correspondiente abreviatura hierática, dominando el elemento fonético y escribiéndose de derecha a izquierda.

La demótica o popular se componía de signos tomados de la hierática, con exclusión casi completa de los jeroglíficos, conservándose casi completamente los símbolos cuña de sus caracteres compuestos por ángulos y puntas. La escritura jeroglífica se utilizaba para las inscripciones monumentales, donde solamente los sacerdotes y los escribas conocían su significado. En esta escritura jeroglífica se encuentran unos 24 signos alfabéticos equivalentes a letras sueltas o palabras completas separadas de una sola consonante, 136 signos silábicos, pero al lado de estos se encuentran mas de tres mil figuras mucho mas complicadas. Los egipcios nunca advirtieron la importancia de su magna invención y no hicieron mucho uso de ella.

Origen de los números

Desde los tiempos primitivos, el hombre ha sentido la necesidad de contar, ya fuera sus piezas de caza, sus utensilios o el número de miembros de su tribu. En este sentido cabe tal vez interpretar algunos vestigios antropológicos singulares, como las muescas ordenadas que aparecen incisas en algunas paredes rocosas o en los útiles prehistóricos.

Sistemas de numeración de las primeras civilizaciones

Desde el Neolítico, los sistemas de cómputo y numeración se fueron complicando y enriqueciendo progresivamente. Las grandes civilizaciones de la Antigüedad se distinguieron por un importante desarrollo de la aritmética y la geometría, que desembocó en la creación de sistemas de numeración sistemáticos. Así, por ejemplo:

• Los primeros signos numéricos egipcios conocidos datan de hace unos 7.000 años. Su método se basaba en agrupar los elementos de diez en diez, y asignar a cada grupo de diez un símbolo diferente.
• Los babilonios utilizaban, hacia el año 1700 a. C., un sistema de numeración de base 60, enormemente complicado por la cantidad de numerales que consideraba.
• La civilización grecolatina utilizó las letras del alfabeto como signos numerales. Su sistema de numeración contaba de diez en diez.
• En América, la cultura maya usaba desde el siglo IV d. C. un sistema de numeración de base 20, en el que, por primera vez en la historia, se utilizó la noción de número cero.
• En la India, se desarrolló un sistema de representación de números del que deriva el actual, que fue transmitido a Occidente a través de los árabes.