Fractal de mandelbrot (600 palabras

El 14 del pasado mes de octubre se cumplió un año del fallecimiento de Benoit Mandelbrot, uno de los precursores de la Geometría Fractal. En Gaussianos nos hicimos eco de esta triste noticia y le dedicamos un post unos días después, en el que, por cierto, comentábamos algo del famoso conjunto de Mandelbrot, también conocido como conjunto M. También se habló algo sobre este conjunto M en el post Pi y el conjunto de Mandelbrot, pero en realidad no hemos comentado con detenimiento su historia y su construcción. Eso mismo es lo que vamos a hacer hoy.

Gaston Julia y sus conjuntos

No podemos decir que la suerte sea una característica presente en la vida de Gaston Julia (matemático francés nacido en Argelia), más bien todo lo contrario.

Tuvo que interrumpir sus estudios cuando contaba con 20 años por la Primera Guerra Mundial, en la que perdió la nariz. A pesar de las operaciones, tuvo que llevar una máscara, como puede verse en la foto de la derecha, hasta el día de su muerte.

Por otra parte, su fama en vida no alcanzó cotas demasiado altas, a pesar de sus interesantes y novedosos estudios. El hecho de no disponer del aparato con el que contaron sus contemporáneos, el ordenador, contribuyó decisivamente a ello.

De todas formas podemos considerar a Julia como uno de los padres de la Geometría Fractal. Él fue el primero en realizar estudios de funciones complejas que generaban conjuntos extraños, que terminaron por denominarse conjuntos de Julia.

El Conjunto de Mandelbrot

 

Vamos a adentrarnos en un nuevo universo de complejidad: el conjunto de Mandelbrot. De nuevo, los procesos iterativos serán las fuentes de este río. El conjunto de Mandelbrot está considerado como el objeto geométrico más complicado creado hasta el momento por el hombre. La frontera que delimita este objeto en el plano complejo es fractal. De hecho, es tan enrevesada que su dimensión fractal D es igual a 2. El conjunto de Mandelbrot, que a partir de ahora indicaremos como M, es el fractal que aparece por defecto al iniciar Fractint y es la figura que hemos empleado de fondo para todas las páginas de nuestro curso. Se trata del ocho rechoncho y recostado lleno de verrugas que puedes observar en la  figura de inferior.  Este es el dibujo original que Mandelbrot descubrió a la comunidad científica a finales de los 70 cuando trabajaba en el centro de investigación Thomas J. Watson. Ahora disponemos de imágenes más detalladas como las representadas en la  tabla de abajo. Si ampliamos las verrugas, nos toparemos con la primera sorpresa: son diminutas copias del conjunto original, mini-mandelbrots. No exactamente idénticas, pero sí semejantes. Y como no, a su vez, estas copias están llenas de verrugas cada una de las cuales vuelve a ser un conjunto de Mandelbrot al ser ampliadas, y así ad nausean...  En la tabla inferior puedes ver un ejemplo de la existencia de pequeñas réplicas similares al propio conjunto inicial en su interior. Hemos utilizado Fractint con mapa de color blues.map para generar las imágenes. Partiendo del conjunto inicial hemos ido haciendo sucesivas ampliaciones de izquierda a derecha en las tres primeras imágenes y de derecha a izquierda en las siguientes.

Mientras que los conjuntos de Julia son estrictamente auto similares, los pequeños conjuntos de Mandelbrot sembrados en sus profundidades son solo cuasi-auto similares. El grado de similar dad depende de la zona y el grado de magnificación al que nos encontremos de forma no trivial.   

Vamos a describir el protocolo para la creación del conjunto. El proceso iterativo queda descrito por el mapa: 

z(n+1) = z(n)² +c, 

   
donde tanto z como c son complejos. Al contrario de las actuaciones previas con los biomorfos o los conjuntos de Julia, el conjunto de Mandelbrot en realidad no es la iteración de una sola función, sino de infinitas funciones. Como hemos visto el factor que determina si un conjunto de Julia es conexo o disconexo es el valor de c.  
   
Para determinar que valores de c producen conjuntos conexos y cuales disconexos parece que no nos quede más remedio que determinar cada conjunto iterando todos los puntos del plano complejo para cada función f_c=z² +c. Afortunadamente se puede demostrar que basta con iterar el (0,0) para cada función f_c y la órbita nos determina la conectividad del conjunto.  

Si la órbita del origen (condición inicial z_0=(0,0)) para la iteración de f_c no escapa al infinito, entonces:  

(1) o bien pertenece al conjunto de Julia de f_c,  
(2) o bien está atrapado.

En el primer caso el conjunto de Julia correspondiente será dendrítico. En el segundo caso el conjunto será equivalente, topológicamente a un círculo y por tanto el conjunto será conexo. El conjunto de todos los valores c tales que sus correspondientes conjuntos de Julia son conexos forman en el plano complejo el famoso conjunto de Mandelbrot.

En la figura superior están representados algunos conjuntos de Julia con valores de c indicados en el plano complejo por las líneas de color azul. Para valores de c dentro del conjunto de Mandelbrot la forma de los conjuntos de Julia es semejante a círculos. Fuera del conjunto tenemos nubes de puntos disconexos. Los conjuntos de Julia más interesantes estéticamente se observan en la frontera. Las formas dendríticas de los conjuntos de Julia corresponden a las fronteras filamentosas del conjunto de Mandelbrot. En la imagen inferior puedes observar un gif animado del efecto de la variación continua del parámetro c en las formas de los conjuntos J a lo largo de una línea que va desde la frontera de M (forma dendrítica) hasta su interior (forma circular).